有界性：閉區間上的連續函數在該區間上一定有界。最值性：閉區間上的連續函數在該區間上一定能取得最大值和最小值。介值性：若f(a)=A，f(b)=B，且A≠B。則對A、B之間的任意實數C，在開區間(a,b)上至少有一點c，使f(c)=C。

連續函數有何性質

有界性

所謂有界是指，存在一個正數M，使得對于任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。

證明：利用致密性定理：有界的數列必有收斂子數列。

最值性

所謂最大值是指，[a,b]上存在一個點x0，使得對任意x∈[a,b]，都有f(x)≤f(x0)，則稱f(x0)為f(x)在[a,b]上的最大值。最小值可以同樣作定義，只需把上面的不等號反向即可。

介值性

這個性質又被稱作介值定理，其包含了兩種特殊情況：

（1）零點定理。也就是當f(x)在兩端點處的函數值A、B異號時（此時有0在A和B之間），在開區間(a,b)上必存在至少一點ξ，使f(ξ)=0。

（2）閉區間上的連續函數在該區間上必定取得最大值和最小值之間的一切數值。

一致連續性

閉區間上的連續函數在該區間上一致連續。

所謂一致連續是指，對任意ε>0（無論其多么小），總存在正數δ，當區間I上任意兩個數x1、x2滿足|x1-x2|<δ時，有|f(x1)-f(x2)|<ε，就稱f(x)在I上是一致連續的。

函數的連續性

對于連續性，在自然界中有許多現象，如氣溫的變化，植物的生長等都是連續地變化著的。這種現象在函數關系上的反映，就是函數的連續性。簡單地說，如果一個函數的圖像你可以一筆畫出來，整個過程不用抬筆，那么這個函數就是連續的。